生態学のデータ解析 - 極値分布

• ここでは R を使った極値分布の推定について説明します

  

  • 参照: CRAN Task View の Environmetrics の Extreme values section

もくじ

• 極値理論とは何か
• 一般化極値分布 (GEV) とはなにか
• R をつかった GEV の推定
  • library(extRemes) と library(ismev)
  • library(evir)

極値理論とは何か 

• ある確率分布にしたがう独立な N 個のサンプルがあったときに，そのサンプルの極値 (最大値など) はどういった分布にしたがうか，を統計モデリングする理論
  • 例: 毎年の最高気温が独立と考えたときに，20 年分のデータを集めたときの最高気温はどうなるか? またもし 100 年ぶんデータがあるとすればその最高気温はどうなるか予測せよ，といったハナシ

一般化極値分布 (GEV) とはなにか 

• Genelarized Extreme Value distribution (Wikipedia) とは代表的な極値分布 3 種類をまとめた確率分布
  • パラメーターは三つ: μ (mu), σ (sigma), ξ (xi)
• 以下に紹介する R の極値分布 package ではこれらのパラメーターを最尤推定している
  • 内部では optim() を使って計算している
    • method オプション指定できる: (例) method = "SANN" でシミュレイテッドアニーリニング法，収束が難しい状況でも最尤推定値が計算できたりする，ただし精度はあらくなりがち

R をつかった GEV の推定 

library(extRemes) と library(ismev) 

• どちらも Stuart Coles 原作
  • もともと R 用ではなかったので全体に R っぽくない
• library(extRemes) すると自動的に library(ismev) される
  • 両 library はいつもいっしょに使うのがよい (それぞれ単独では使いにくい)
  • R の library(help = ...): ismev, extRemes
  • ismev とは作者 Coles の書いた教科書 An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values (2001) からとられた名前である (つまり教科書の例題などをふくむ)
  • 極値分布とか知らない人はこの教科書がないとこれらの library を使うのはたいへんだろう
• library(extRemes) すると TclTk の専用 user interface が表示されるが，こんなのはすぐに消してしまったよい
  • もちろんこの専用 UI 上でデータ解析しても良い
  • 以下では専用 UI を 使わない 場合について説明している
• x がデータ (例: 毎年の最大気温，欠測なし) が格納されているとする
  • GEV の 3 パラメーターは gev.fit(x) で推定される
  • return plot は下のように作図させる
    • R の help 参照: help(rlplot)

 data(ftcanmax)
 fit <- gev.fit(ftcanmax[,"Prec"])
 class(fit) <- "gev.fit"
 rlplot(fit)

• この rlplot() 関数は解読するといろいろ参考になる
  • print(rlplot) などで表示できる
  • また GEV の quantile 値をえる gevq() 関数は help などはないけど，ユーザー側から自由に使うことができる (print(gevq) 参照)
• Tutorial: http://www.isse.ucar.edu/extremevalues/tutorial/index.html

library(evir) 

• Alexander McNeil 原作
  • Coles の package よりは R っぽい
  • R の library(help = ...): evir
• GEV の推定は gev()
• GEV をあつかう確率分布関数たち が R っぽく準備されている