ぎょーむ日誌 2005-01-15

2005 年 01 月 15 日 (土)

• 0740 起床． 朝飯． コーヒー． 怠業． あっ， Huygens が無事にタイタンに着陸! おお， これがメタン雲の底にひろがる大地か …… ところで， 「ホイヘンスの原理」のホイヘンスが土星と何か関連あるのか わからなかったんだけど， 調べてみたら彼は光学おたくとでも言うようなヒトで 自作望遠鏡でもって土星の輪とタイタンを発見したそーで． カッシーニのほうは， 言うまでもなく「すきま」の発見者．
• 1140 自宅発． 晴． 1155 研究室着． しかしすぐに空腹になってしまったので昼飯．
• 昨日からのつづきで， 空間相関な統計モデルの勉強のつづき． おもに見ている文献は
  • Besag, J.E. 1974. Spatial interaction and the statistical analysis of lattice systems. Journal of the Royal Statistical Society B 36:192-225
  • Besag, J.E. 1975. Statistical analysis of non-lattice data. Statistician 24: 179-195
  • Ripley, B. 1981. Spatial Statistics. Wiley.
  • Cressie, N.A.C. 1993. Statistics for spatial data. Wiley.
  • 間瀬茂, 武田純. 2001. 空間データモデリング -- 空間統計学の応用. 共立出版.
• で， 空間自己回帰モデル (spatial autoregressive model) に関する現時点での私の理解なんだが ……
  • 大原則として， 空間上の「点」間に相互作用がある場合には， これはことごとく Gibbs 過程によって生成されたもの， と考える
  • したがってこれを解析するモデルはすべて Gibbs 過程を 前提においたものとなる
  • autoregressive model が扱うのは マルコフ確率場 (Markovian Random Field; MRF) である --- MRF は離散空間上の有限範囲ポテンシャル関数をもつ Gibbs 点過程である (cf. Hammersley-Clifford theorem)
  • MRF におけるある「パターン」 w の出現確率は P{w} = exp(Q(w)) / Σu exp(Q(u)) ここで Q(w) は負のポテンシャル関数である --- この P{w} が MRF で定義される尤度である
  • この尤度を数値的に計算するために， こんにちでは Markov Chain Monte Carlo (MCMC) 法を用いることが多い
  • しかし昔は計算がたいへんだったので coding 法や maximum pseudo likelihood estimation (MPLE) が用いられた
  • MPLE の推定値は「良い」性質をもちうるので， こんにちでも使われている
  …… というあたりか．
• さて， simultaneous autoregressive (SAR) と conditional autoregressive (CAR) の相違なんだが …… えー， じつはこのあたり昨日ごろまでたいへんカンちがいをしておりまして …… 現時点の理解では SAR と CAR の違いは一点のみ， ということで． SAR は CAR を簡単にしたものであり， SAR ⊂ CAR という含有関係にある． では， その違いとは何か?
• MRF の例として auto-gaussian process を考えてみよう． これが CAR なモデルで表現するとなると， ある場所 x の平均・分散両方が x 周辺の状態の関数となっている， ということになる． 場所 x での確率変数は多変量正規分布から得られる乱数ヴェクトルの 一要素である．
• これにたいして SAR は平均だけが周辺から影響される． つまり， SAR でもまた多変量正規分布を考えているわけだが， その分散・共分散行列の共分散要素がすべてゼロ …… いやいや， そうではなさそうな． なんだか奇妙な確率分布だ． しかし， Ripley 本によると ``Any SAR process is a CAR process with ...'' とのことで両者の関係は複雑なものではない， と示されている …… うーむ．
• ハナシが飛んでるみたいだけど， MCMC 法でもって これらの多変量正規分布の乱数標本セットを生成せしめる Gibbs sampler を考えてみよう． たぶん， そのほうが理解しやすい． CAR モデルにおいては， ある場所 x の Gibbs sampler は多変量正規分布のもとで決まる 条件つき一変量正規分布 (平均・分散どちらの計算にも分散・共分散行列が必要) として表現される． SAR の Gibbs sampler も一変量正規分布ではある． しかしながら， その平均は x 周辺に依存するけれど， 分散のほうは常に変わらぬ定数のまま …… そういったモデルだ．
• ともあれ， CAR / SAR どちらの process も MRF であり Gibbs process である． 最尤推定したければ MCMC 法を使えばよい (使ってもダメかも?)．
• そしてどちらも maximum pseudo likelihood estimation を適用できる …… CAR は多変量正規分布の最尤というか 最大化 pseudo likelihood 推定となり， SAR は最小二乗法みたいなもの， になる．
• で， SAR の場合， 相互作用の部分をある簡単なカタチで書けるならば， MPLE から最尤推定値 (MLE) を推定できるよーなことが書かれているな …… Ord (1975) の方法 in Ripley 本．
  • Ord, K. 1975. Estimation methods for models of spatial interaction. Journal of the American Statistical Association 70: 120-126.
• …… とゆーことは， 苫小牧 の平尾君の質問の核心たる 「 R の spdep の lagsarlm() 関数でやってる SAR プロセスの最尤推定ってのはいったい何なのか?」， この宿題の答えがわかってしまった !! …… それは上の Ord (1975) の方法による 最尤推定だ (つまりこれは pseudo likelihood estimation ではない)．
• では， Ord (1975) の方法が要請するモデルの単純化とは何か? それは help(lagsarlm) (in spdep package) で表示されるように，

       Maximum likelihood estimation of spatial simultaneous
       autoregressive lag and mixed models of the form:
                         y = rho W y + X beta + e
       where $\rho$ is found by 'optim()' using method "L-BFGS-B" first
       and $beta$ and other parameters by generalized least squares
       subsequently. In the mixed model, the spatially lagged independent
       variables are added to X.
  

  ここで W が既知の定数行列 (すなわち距離荷重行列) であり， rho が最尤推定されるべきパラメーター のひとつ (事象発生の空間相関をあらわすスカラー)， というふうに分解できるモデルにしなさいってことだ． こういうふうにモデルを限定 (すなわち簡単化) してしまうと， MCMC 法つかわずとも空間相関のパラメーターを最尤推定できる． そういうことだ． いやー， いっけんらくちゃく．
• まあ， なんとなく CAR のほうが「自然」なかんぢのするモデルなんだけど， SAR は上のような使いみちがあるというところに存在意義がある (改造しやすい?)， ってことなのかな．
• というような内容を平尾君に送って， とりあえずの回答とする．
• でその後も Gibbs 過程がアタマの中でちかちかと明滅する世界に没入 ……
• 2130 研究室発． 2150 帰宅． 体重 74.0kg． 運動． 晩飯．
• さーて， 明日はセンター試験監督， か． うだうだしてたらすっかり夜おそくなってしまった．
• [今日の運動]
  • エアロバイク 50 分間．
  • 腹筋運動 30 × 3 回． 腕立ふせ 5 × 3 回．
• [今日の食卓]
  • 朝 (0820): 食パン． トマト・ピーマン・豆腐のスープ．
  • 昼 (1250): 研究室お茶部屋． 食パン．
  • 晩 (2440): 蕎麦． トマト・ピーマン・豆腐のスープ．