[「写真貼れ」書類]
「著者自己紹介」とやらで，
おそらく手書きで原稿用紙ふうマス目に自己紹介をうめ，
写真をとって現像して適切な大きさに裁断して，
書類左下にぴったり貼りつけなさい，
といった趣旨の書類．
電子情報通信
学会がコレではいかんのではないでしょうか
……
あるいは「電子情報通信学」
の限界に絶望しているから，
紙にこだわっているのかなぁ
……
ともあれ，「平均値 != 中央値」の方向から D = X - Y の分布の非対称性に ついて議論するのはまずい方策らしい，とわかってきました． そこでちょっと別の方法を考えてみました． まず，議論のそもそもの出発点として D の非対称性を事前に調べて，というの はまずいだろう，という考えがありました．これは標本 X と標本 Y の母集団 がどちらも対称な分布であったとしても，母集団の中央値が異なっていれば， D は非対称になるからです．いま調べたいのは D の中央値がゼロである場合 です． D の確率分布の中央値がゼロであるためには X, Y それぞれの確率分布の中央 値が等しくなければなりません．そこでいま，これらが共通の中央値 c をもつ とします． 「対称な確率分布」は次のように定義します．D, X, Y それぞれの確率密度関 数を h(D), f(X), g(Y) とします．それぞれの中央値は 0, c, c なので，こ れらが対称であるときにだけ， h(Δ) = h(-Δ) f(c + Δ) = f(c - Δ) g(c + Δ) = g(c - Δ) が成立している，と定義します． さて h(Δ) と f(X), g(Y) の関係を考えてみると，X = Δ + Y であることから， h(Δ) = ∫f(Δ + y) g(y) dy h(-Δ) = ∫f(-Δ + y) g(y) dy と畳みこみのかたちで定義されます． まずは f(X) と g(Y) が同じ確率分布であるとき (g(Y) = f(Y)) について考え ます．h(-Δ) の式において y = z + Δ とおくと， h(-Δ) = ∫f(z) f(z + Δ) dz となり h(Δ) = ∫f(Δ + y) f(y) dy と同じなので，h(Δ) = h(-Δ) となります．つまり f(X) と g(Y) が同じ確率 分布であるときには h(D) は常に対称である，ということがわかります． また g(Y) は f(X) を「ずらした」確率分布であるとき，つまり g(Y) = f(Y + 定数) であるときにも上と同じ論法で h(D) は対称な確率分布となります．この場合 は当然ながら f(X) と g(Y) の中央値は等しくありませんし，h(D) の中央値は ゼロではありません． つまり一般には，f(X) と g(Y) が「同じ確率分布をずらした (あるいはずら さない) 関係」にあるときには，つねに h(D) は対称となります． 次に f(X) と g(Y) が「同じ確率分布をずらした関係」ではない場合について 考えます． h(Δ) = ∫f(Δ + y) g(y) dy において，y を「ずらして」 y = c + z とおくと， h(Δ) = ∫f(c + (z + Δ)) g(c + z) dz となります．また -Δ = X - Y のときには h(-Δ) = ∫f(-Δ + y) g(y) dy となり，今度は y = c - z とおいて書き変えると h(-Δ) = ∫f(c - (z + Δ)) g(c - z) dz となります． f(X) と g(Y) が同じ確率分布ではないときに，h(Δ) = h(-Δ) であるために は， f(c + (z + Δ)) = f(c - (z + Δ)) かつ g(c + z) = g(c - z) が必要とされ，これが成立するのは f(X) と g(Y) がどちらも対称である場合 なので， h(D) が対称 ⇔ f(X) と g(Y) のどちらも対称 と言えるのではないかと思います (必要十分性の確認がいいかげんですが)． まとめますと，f(X) と g(Y) の中央値が等しい (どちらも c) ときに， 中央値ゼロの確率分布 h(D) が対称であるためには，f(X) と g(Y) が対称であ るかどうかを確認すればよい，そして f(X) と f(Y) の対称性はそれぞれの中 央値とは関係なくチェックできます． ただし f(X) と g(Y) が同じ確率分布である (中央値が等しい)，もしくは g(Y) = f(Y + 定数) といった関係にある (中央値が等しくない) ときには， f(X) と g(Y) が非対称であっても h(D) は対称となります． ということで，h(D) がどういうときに対称になるのか，をひととおり整理で きているのではないかと思います．
