ぎょーむ日誌 2009-03-25

2009 年 03 月 25 日 (水)

• 0720 起床． いまいち． 朝飯． コーヒー． 盛岡からの帰路検討していた， 粕谷さん論文原稿のコメントに関して， 少しアタマが整理されてきたように思えたので， もうちょっと考えてみる． 0920 自宅発． 晴． 0935 研究室着．
• 午前中はそのコメントメイルかきで終わってしまった． 要点は「確率変数の差 D = X - Y」に関して，
  • D の確率分布 F(D) が「非対称」とは F(D) の期待値と中央値が一致してないこと (これはどんな確率分布でもそう言ってよいのでしょう， たぶん)
  • F(D) が非対称なとき， F(X) もしくは F(Y) の少なくとも一方は非対称
  ということだけです． 以下， その議論の部分． (追記: じつはこの「平均値 != 中央値」の議論は不充分． 3/30のハナシも参照)

さて，本題ですが，D = X - Y と定義される D の確率分布が非対称である状況
を問題にしているわけですが，読者としては「どういう状況で D が左右非対称
になるか」といったことも知りたいのではないかと思います．このあたりの検
討も必要ではないでしょうか．

で，考えてみますと，「非対称」の定義を明確にすべきでしょう．統計学本を
きちんとあたっていないのですが，おそらく非対称の定義は「中央値と平均値
が等しくない」としてよいだろうと思います．

つぎに D の確率分布が非対称になる状況を考えます．ここで D の確率分布(以
下，分布は F(D) のように書きます) の中央値はゼロとおきます (以下の議論
に関しては一般性を失うことなくゼロとおいて良いはずです)．このときに，
F(D) が非対称であるためには，F(X) と F(Y) の少なくとも一方が非対称でな
ければならない，といった条件があるのではないでしょうか．

厳密な証明はしていませんが，たぶん以下のように考えればよいように思いま
した．まず F(D) の中央値がゼロであるとき F(X) と F(Y) の中央値は等しい，
といったことが成立しているはずです．

次に F(D) が非対称であることから，F(D) の期待値 (E(D) とします) はゼロ
ではありません．すると E(D) = E(X - Y) = E(X) - E(Y) != 0 から E(X) と
E(Y) の期待値は等しくありません．つまり，F(X) と F(Y) は中央値は同じで
あるにもかかわらず，期待値は等しくないので，F(X) と F(Y) の少なくともど
ちらか一方において，

・中央値と期待値が等しくない
・つまり非対称

ということになります．逆に F(X) と F(Y) の中央値も等しくかつ期待値も等
しければ，E(D) = E(X) - E(Y) = 0 となり，F(D) の中央値・期待値がゼロと
なり F(D) は対称な分布となります．

このことから，「F(D) が非対称となるのはどういう状況か?」と聞かれたとき
に「F(X) もしくは F(Y) のどちらかあるいは両方が非対称なとき (中央値と平
均値が等しくない)」と回答してよいのでしょう．

また F(D) が非対称かどうかを調べるときには F(X) と F(Y) それぞれで中央
値と平均値が等しいかどうかを調べる，といった方法がより有効ではないでしょ
うか (ただし中央値==平均値を調べるのもそれなりにめんどうな気もします)．

粕谷さんは F(D) が非対称かどうかを調べたらどうか，と書かれていました．
これはちょっと問題になる場合があるかもしれません．というのも F(X) と
F(Y) が両方とも対称であるにもかかわらず (中央値が等しければ F(D) は対称
となる)，中央値が等しくない (帰無仮説が正しくない) 場合には F(D) は非対
称となるからです．

ハナシは少し横にそれますが，上のようなことを書いているうちに，平均値を
使った検定ができないから中央値の検定で代用するといった発想 (が多いんで
しょうかね?) といった考えかた自体が問題になる場合もあるかも，という気
もしてきました．

・中央値が等しいけれど，平均値は等しくない
・平均値が等しいけれど，中央値は等しくない

それぞれ結果に関する生物学的な考察はずいぶんとちがってくる場合もありそ
うですね．

• 昼飯たべにちょっと帰宅．
• 午後は 3 時間ほど Pieter Zuidema さん (ユトレヒト大) あいてに統計モデリングとかの話． Mark Rees の Integral projection 計算ってそんなにいいもんですかね (2007-11-13 でも何やら言及してるな)． 階層ベイズモデルで対処すべき問題だ．
• 電子情報通信学会誌の階層ベイズモデル解説かき にもどろうとしたんだけど， なかなか ……
• そして院生から Zuidema さんを晩飯につれだせ命令が． 皆さんいそがしいので， 一番ヒマそうな私にまわした， とのことのよーで．
• 1910 研究室発． Zuidema さんと JR 札幌駅ビルで晩飯． 2030 帰宅．
• [今日の運動]
  • 不健康な日々， つづく ……
• [今日の食卓]
  • 朝 (0830): 米麦 0.6 合． ブロッコリー・ニンジン・タマネギ・シイタケ・干しエビ・鶏肉のスープ．
  • 昼 (1300): 米麦 0.6 合． ブロッコリー・ニンジン・タマネギ・シイタケ・干しエビ・鶏肉のスープ．
  • 晩 (1940): 駅ビルの食堂フロアのひとつ， ステラプレイス 6F の回転寿司に (ややウケねらいで) 行こうとしたんだけど， 平日 19 時すぎでも店の外まで「待ち」のヒトたちがびっしり． 皆さん， ホントに回転寿司すきだよね． とゆーことで， スープカレー．