ぎょーむ日誌 2003-06-10

2003 年 06 月 10 日 (火)

• 0800 起床． 朝飯． コーヒー． 0850 自宅発． 今日も晴． 0900 研究室着． なんか眠い．
• 先週に「それってヘンじゃない」 とコメントしたハナシに関してまたメイルが来たので， それに対応 …… でまる一日が終わってしまった． これまた阿呆だ． まあ勉強にはなったけどね．
• 解くべき問題を簡単に述べてみると
  • 最大 S 種の生物からなる n 個体の群集を生成する
  • 種それぞれに出現確率が与えられている -- 生成すべき群集はそこからの標本である (標本サイズは所与)
  • ただし各生物種ごとに集中分布している
  というところか．
• で， これに関する私の解答を要約すると 「『Polya の壺』を使え」 ってこと．
• George Polya (正しくは Pólya と書くべきなんだろうな) は数学者をたくさん輩出する伝統の国ハンガリーの 確率論・組み合せ数学の研究者． 日本では 「いかにして問題をとくか」 の著者としてよく知られているのかもしれない． 「Polya のつぼ (Polya's urn また Polya urn)」 とは こういうもの． この壺から得られる赤玉・黒玉のうち， どちらか一方の玉の個数は Polya 分布 (あるいは負の超幾何分布) として表現され， これの極限をとる (ある条件のもとで壺のサイズを無限大にする) と， 負の二項分布 になる．
• 私がこういうこと思いついたのは
  • 以前に粕谷さんに 「 負の超幾何分布 (negative hypergeometric distribution) の極限が負の二項分布」 と教えてもらった
  • ずーっと以前に 筑波大の徳永さんが 「Polya の壺，というモデルがあって……」 と話していたのがアタマに残っていた
  この二つは実は同一のものでは， と思ったのでほぼ一日を費してあれこれ調べていた． いや， たしかに時間かかりすぎなんだけど．
• このあたりについて詳しく書かれているのは W. Feller の「確率論とその応用 (An introduction to probability theory and its application)」． どこの大学の図書館にも蔵書されているちょー有名なる教科書である． で， 「おそらくこれでいいんだろう」とわかったことは (まだ間違ってるかもしれない)
  • Polya の壺からの標本の分布は Polya 分布 であらわされる． これは負の超幾何分布と同じ (ややこしい)． これを一般化したものが Polya-Eggenberger 分布 である．
  • Polya 分布の極限形は負の二項分布．
  • Polya つぼからの取り出しの n 回目の試行において 赤玉が x → x+1 となる確率は (p + x c / N) / (1 + n c / N)， ただし p は赤玉の初期頻度 (操作する前の出現確率) N は赤・黒玉の初期個数， c はいわば「集中度」で負の二項分布の係数を k とすると c = M / (k N) という関係にある， と考えてよさそう．
  • この確率過程において壺のサイズを無限大にした極限が Polya 過程である．
  ひとつ気になるのは， Polya 分布と呼ばれるものが， もしかしたら複数あるかもということ．
• というあたりをメイルにまとめてみる …… 翌日みなおすと書きまちがい・敵国語まちがいが多々あって うんざりさせられる．
• 2040 研究室発． 2105 帰宅． 体重 71.6kg． 晩飯．
• ばてばてー
• [今日の運動]
  • 北大構内走 1255-1325． ストレッチング．
  • 腹筋運動 30 × 3 回．
• [今日の食卓]
  • 朝 (0830): 米麦 0.7 合． チンゲンサイ・ピーマン・タマネギ・マイタケの炒めもの．
  • 昼 (1340): 弁当． 研究室お茶部屋． 米麦 0.7 合． チンゲンサイ・ピーマン・タマネギ・マイタケの炒めもの．
  • 晩 (2150): 蕎麦． 納豆．