Experiments in ecology
Their logical design and interpretation using analysis of variace
A. J. Underwood, Cambridge University Press
輪読会メモ 1999.01.20 担当：久保拓弥 (kubo@ees.hokudai.ac.jp)

第 10 章 Factorial experiments 要因実験

Factorial experiments 要因実験

Multiple comparison for two factors 因子が二つのときの多重比較

When there is a significant interaction 有意な交互作用があるとき

さて要因実験で，もし交互作用が有意になったら，どうするか? 7.7 節で一因子実験で述べたのとまったく同じように解析すればよいのである．演繹的な仮説( a priori) 一方で, 帰納的な仮説( a posterior) について調べている場合は，以前に議論した Type-I エラーに関する注意を思い出し， Student-Newman-Keuls (SNK) 検定あるいは Ryan の検定を行えばよい．
つまりやることは，
- まず，ある因子のひとつの水準(level) を決める(固定する)．
- 次にその水準において別の因子のすべての水準間の多重比較を行う．
- すべての因子，すべての水準において上の二つを行う．
Table10.9 ではカサガイの例を用いてそのやり方を具体的に説明している．この結果は，カサガイの死亡率が「カサガイの密度(こみあい)」と「ソウ類の被度」それぞれによってだけで決まっているだけでなく，「ソウ類の被度が高くなると，密度効果がますます高くなる」ことが多重比較から説明できる．

When there is no significant interaction 有意な交互作用がないとき

交互作用に有意差がなければ，それぞれ有意な主効果(main effect) ごとに多重比較をやればよい．交互作用がないんだから，調べている因子以外の因子に関しては，平均をとってしまっていいのである．
Table10.10 の例は10.9 によく似ているけど，今度は交互作用が有意でなかった場合である．二つの因子は独立なので， Table に示しているとおりそれぞれの標準誤差が計算できる．
このTable に示されている結果では，「カサガイの密度」と「ソウ類の被度」がそれぞれ独立に死亡率に影響を与えている．

Control for experiment-wise probablity of Type I error 実験のやり方に由来するType-I エラーを増やさないようにする

すでに8.6.2 節で述べたように，こういった多重比較はType-I エラーの危険を増やさないように注意深く行わなければならない．たとえばTable10.9c では5個のSNK 検定をべつべつにやっているのである．
検定の数に会わせて有意水準を変れば確率を補正できる．あるいはことによったら， Bornferroni 補正を使うのがいいのかもしれない． Table10.9 のように5回検定をやるときには $P = 0.01 (i.e. \alpha / 0.5)$ とすればよい．
こうやってType-I エラーについて操作しているときに，もっと重要なのは検出力がなくなってしまわないように注意することだ． Miller(1981) は，このように一連の検定をひとつの`familiy' であるかのようにとりあつかったためにエラーの率を操作することに起因する問題について議論している．だけどType-I エラー問題を考慮しつつ Type-II エラーが大きくなり過ぎないようにする方法については簡単なやり方がない．

Three or more factors 三つ以上の因子

要因実験における因子の数は二つに限定されているわけではない．実際のところ，因子はいくつでもいいんだけど，ここでは三つの場合を考えよう．たがいに直交(orthogonal) する三つの因子があるので，交互作用の数は4個になる．さっきのカサガイの例で，季節変化を考慮した例を考えてみよう．
構造模型はこうなる：

$\begin{displaymath} X_{ijkl} = \mu + D_{i} + P_{j} + S_{k} + DP_{ij} + DS_{ik} + PS_{jk} +DPS_{ijk} + e_{l(ijk)} \end{displaymath}$ (27)

はカサガイの密度の効果，はソウ類の被度の効果そしては季節の効果を表している． $e_{l(ijk))}$ は残差である．
この場合の平均平方和などは Table10.11 に示している．

Interpretation of interactions among three factors 三因子間の交互作用の解釈

ここで問題になるのはいろいろある交互作用の解釈(つまりデーターにどのような影響を及ぼしているのか)だ．「一次の」(first-order) の交互作用 ( $D \times P, D \times S, P \times S$ ) は二因子のときと同じである．
「二次の」(second-order) の交互作用 ( $D \times P \times S$ ) は $D \times P$ と (あるいは $P \times S$ と， $S \times D$ と ) の交互作用である．
いままで議論している事例だと， figure10.6 のようにその交互作用はあらわれてくるだろう．図の(a) と(d) では季節が違うのだけど，グラフを見ると繁殖力をあらわす折れ線が平行移動しているだけ-- つまりD (密度) ともP (被度) とも交互作用がない．
ところが今度は(b) と(e) を比較してみると， P が小さいとき(●) には季節による影響はないけど， P が大きいとき(○) だけ繁殖力をあらわす折れ線が平行移動している-- つまりP とS の間に交互作用がある．
最後に(c) と(f) を見ると，二つの折れ線が季節によって平行移動しているだけでなく，折れ線の形まで変わってしまっている．これが $D \times P \times S$ の交互作用がある場合である．
この生態学的解釈であるが……(略 )……

Power and the detection of interactions 相互作用の検出力とその特定

要因実験をやるときには仮説構築の一端として交互作用を検出する実験の検出力をあらかじめ推定しておくのがのぞましい．次のような事例ある植物の数が，ある場所では日なたより日陰において極端に少なくなることもあれば，べつの場所ではそれほど数が変わらない場合があったとしよう．これは食植者が日陰の葉を好み，かつその虫がいる場所といない場所があるためにそうなっているものとする．で，虫がつかないようにすれば，日なたと日陰で植物の密度は変わらなくなるはずだ．この仮説を調べてみよう．
いくつかの場所の日なたと日陰に調査地を設定して，虫が入れないケイジをいくつか設定する．「処理の効果」を調べる実験をやるとなおよい．だけどここは検出力について考えるんだからそんなものは設定しないことにしよう．この実験には二つの直交する(orthogonal) 因子がある．日なたか日陰か．虫ありか虫なしか．で，仮説というのはこの二つの交互作用を予測しているのである (つまり日陰かつ虫ありだと植物が減る)．
こういう場合の検出力の計算方法はともかくお作法どおりにやれば良い．標本から得られる統計量がなにを推定しているかは Table10.4 に出ている．ここでの帰無仮説を検定するには交互作用の平方和を残差の平方和で割ったものをもちいて -検定を行えばよい．これは一因子のときとまったく同じである．違いはこの帰無仮説の対立仮説の構築がちと面倒であることだ．というのは，二因子の水準間の交互作用がどれくらいの大きさなのか見積もらねばならないからだ．今回とりあつかっている場合だと，わりと簡単に交互作用の「強さの度合い」(magnitude) を観測値から得られる．
ところがそう簡単には定量的な対立仮説を構築できない場合もある．もちろんそういう場合でも交互作用が有意でなければ，ふたつの因子がそれぞれ有意であろうがなかろうが，交互作用があると考えたモデルは間違っている．交互作用がない場合についてはすでに説明した．
同様に，ふたつの因子がともにランダム因子であるなら，すでに8.4 節で説明したとおりに検出力を計算すればよい．とくに新しく付け加えることはない．

Spatial replication of ecological experiments 野外実験の空間反復

混合モデル，つまり固定因子とランダム因子から成るモデルの分散の分析にはちょっと面倒な統計学的問題がある．混合モデルとして「固定因子を研究しているんだけど，反復がランダム因子」という場合は生態学において重要なので，ここではこれについて考える (そうじゃない混合モデルについては12章で考える)．
たとえば数キロメーター四方に広く分布している植物の成長が「密度」(これが固定因子) によって決まるという研究があったとしよう．密度には10個体/ ${\rm m}^{2}$ と 20個体/ ${\rm m}^{2}$ の二つの水準があるとしよう．これを因子A と呼び，固定因子でである．で，たがいに数百メートル離れた場所で 4反復()をとったとしよう．
こちらはランダム因子となり，因子B と呼ぶ()．この解析の構造模型は以下のようになる．

$\begin{displaymath} X_{ijk} = \mu + A_{i} + B_{j} + AB_{ij} + e_{k(ij)} \end{displaymath}$ (28)
いま説明したばかりのやり方と，ふつうに「混合モデル」として説明されているもの，たとえば反復のない乱槐法 (unreplicated randomized blocks experiments；12.1 に登場) や反復のない「繰り返し」測定法 (unreplicated repeated measures design)を，混同してはいけない．
さて理想的にやった場合には， Table10.8b のように処理は進む．もし交互作用が検出されなければ，主効果A とB について検定すればよい．この場合は平方和に関して因子ごとにプールでき，検出力が大きくなる．
固定・ランダム因子間に交互作用があったなら，すでに10.8.1 節で説明したように，各因子のそれぞれの水準において検定を行う．
残された問題はめんどーなので，次の節で議論しよう．

What to do with a mixed model 「混合」モデルで調べること

もし交互作用が有意でなく，しかもプールできないなら，こういった解析は面倒なことになる． Table10.12 に示した例を考えよう．因子A が処理であり，ふつーこちらのほうが自由度が低い．だから検出力が高いとは言えず，水準間でよっぽど差がないとなかなか効果が検出されない．じつはまだ問題があって， A に対するA $\times$ B の交互作用という-検定は，ホントの-比の近似値しか計算できていない，ということである．
この「A $\times$ B に対する因子A の検定」は中心化された F分布を用いるためには，因子A の異なる水準間のデーターの分散・共分散行列にある対称性の性質が成立していないといけない．このためには……
この交互作用の検定でほとんどのことはできる．もし $A_{i}$ のが変わったときに， $B_{j}$ や $e_{k(ij)}$ との相関が変わっているなら，交互作用があるといってよいだろう．交互作用があれば，因子A とB の主効果については検定しなくてもよい．交互作用がなければ，因子ごとにプールしてふつうにF 検定をやればよい．問題なのは交互作用がなくてプールできないときだ．
あと「つりあいのとれたデーター」に関して比較的ささいな問題がある．この場合は交互作用を検定できる簡単な方法はない．だからデーターは「つりあいがとれる」ようにとるしかない．
すでに以前に議論しているように，交互作用を検定してみて，妥当であるなら交互作用項をプールするのは重要である．これは12章で議論する．

Problems with power in a mixed analysis 「混合」解析の検出力にまつわる諸問題

ひとつ以上の固定因子とひとつ以上のランダム因子からなる混合解析において，検出力を計算するのはまたべつの面倒な問題である．そもそも検定のためのF-分布だけど，これを使って良い場合ってのは，わずらわしい仮定の全てが満たされているときだけなのである．
これらの仮定が破綻したときでも， F-分布を使ってそんなに悪くないんじゃないかというシミュレイションの結果も出ている．いくつか仮定をゆるめてみても， A に対するA $\times$ B の平方和の比はF-分布に従うらしい． Box の検定というのがあって，そういう状況でも使えるんだけど，検出力は落ちるらしい．
とはいっても，検出力を計算しようといういかなる試みにも大きな問題がある．さきほどの共分散の対称性がどーのこーのという制約が満たされないかぎり，統計量が従うべき確率分布が正確には計算できないのである．その分布は「中央化されたF-分布」ではない． $\sigma_{AB}^{2}$ と $k_{A}^2$ の間に相関があるからだ．因子がランダムであっても計算できないことには変わりない．実験前にはF-分布に相当するものが計算できず，とうぜん検出力も検定できない．これまでの研究の歴史を振り返ってみると，このような場合はシミュレイションを用いて検出力が計算されてきた．
以上から，混合モデルの使用にまつわる次の三つのことが示唆される．まず，これは生態学や生物学のその他の分野で使わなければならない，ということである．実験的操作をランダムに選んだ場所で行うのはよくやる手口であるからだ．
つぎに，あらゆるものを反復せよ，ということである．
最後に，対立仮説を特定する固定因子の検定の検出力を計算したいなら，二通りのやり方がある．
- 交互作用をプールできると仮定して，「中央化されていないF-分布」を用いる．これは8.3 節で説明しているものとまったく同じ．
- (交互作用をプールできるなら) ランダム因子を検定するときに (プールできないなら) 交互作用それ自身の検定のために「中央化されたF-分布」を用いればよい．

Magnitudes of effects of treatments 処理の効果の大きさの度合い

ある解析のなかで二つの異なる処理がもたらす変異がどれくらいなのか見積もりたい，ということが結構あるものだ． 不幸にして，これは生物学のいくつかの分野においては人気のあるやり口になってしまった． Welden&Slauson (1986) が提案するところによれば，変異(分散)全体の中である因子の変異が占めている比率がその「重要性」に該当するというのである．これは便利でもなければ比較可能な「測度」でもない (Underwood&Petraitis, 1993 を見よ)．問題点は次の次の10.15.2 節で説明する．
ともかく最初にこの「測度」を提案した連中の話を聞いてみよう．

Magnitudes of effects of fixed treatments 固定因子の効果の大きさを見積もる

ここでは例として，何か動物の成長が「こみあい」(いつくかの密度水準を設定) と「初期サイズ」(これもいくつかの水準を設定) によって決まると考えている二因子の実験を考えよう．
密度の影響はTable10.13 のように見積もることができる．こういうふうに計算したらいいんじゃないかと提案されているんだが……：

$\displaystyle \omega_{A}^{2} = \frac{\hat{\theta}_{A}^{2}} { \hat{\theta}_{A}^{2} + \hat{\theta}_{B}^{2} + \hat{\theta}_{AB}^{2} + \sigma_{e}^{2} }$ (29)

$\displaystyle \omega_{B}^{2} = \frac{\hat{\theta}_{B}^{2}} { \hat{\theta}_{A}^{2} + \hat{\theta}_{B}^{2} + \hat{\theta}_{AB}^{2} + \sigma_{e}^{2} }$

$\displaystyle \omega_{AB}^{2} = \frac{\hat{\theta}_{AB}^{2}} { \hat{\theta}_{A}^{2} + \hat{\theta}_{B}^{2} + \hat{\theta}_{AB}^{2} + \sigma_{e}^{2} }$

$\hat{\theta_{*}^{2}}$ なんかの定義はTable10.13 を見てね．

Some problems with such measures かくのごとき測度にまつわる諸問題

しかし，まぁ，こういった測度を定義するといろいろと問題が出るのだ．まず，このような比較の問題として，「おなじ基準ではかれない」(incommensurable) 成分が含まれている．これらはせいぜいのところ処理間の分散を比べる「分散のような」測度として使えるぐらいだろう．これらは分散ではない．
つぎに，これらの測度は相対値である．たがいに独立な直交する因子の分散を解析するのがこの手法の利点なのに，このやり方は比率を計算して互いに独立ではない測度を作り出している．
このような測度では，たとえば，二つのことなる場所で上の実験をやると，「密度の重要性」といったことをこれら実験間で比較できなくなる．
つまりこういう比較が意味をもつのは，同じ実験の中だけであるようだ．また測度はこのように：

$\begin{displaymath} \omega_{A}^{^{\prime} 2} = \frac{\hat{\theta}_{A}^{2}} { ... ...}_{A}^{2} + \hat{\theta}_{B}^{2} + \hat{\theta}_{AB}^{2} } \end{displaymath}$ (30)

定義したほうがまだしも論理的な正当化ができそうだ．
ここにいたって，いまなお，克服しがたい問題が残されているのである．あとで10.16節で議論する．

Magnitudes of components of variance of random treatments 無作為化処理の分散を構成する部分の強度

ランダム因子のときも，分散の成分を推定する方法は固定因子の場合とだいたい同じである．信頼区間なども計算できる．
もう一度，二因子実験についてまとめてみよう(Table10.14)．
分散の成分は
ランダム因子では(すなわち分散成分モデルでは)，二つほど
もうひとつのやり方は
ランダム因子A がひとつだけの実験を考えよう

$\begin{displaymath} \theta = \frac{\hat{\sigma}_{A}^{2}}{\hat{\sigma}_{e}^{2}} \end{displaymath}$ (31)

そして

$\begin{displaymath} {\rm Prob.}(L \le \theta \le U) = 1 - \alpha \end{displaymath}$ (32)

ただしは下限，は上限である．

$\displaystyle L = \frac{1}{n} \Bigl( \frac{F_{obs}}{F_{1 - \alpha / 2}} - 1 \Bigr)$ (33)

$\displaystyle U = \frac{1}{n} \Bigl( \frac{F_{obs}}{F_{\alpha / 2}} - 1 \Bigr)$
多くの生態学の研究で，とくに場所や時間によって変異が大きく，何が最大の変異をもたらしているか特定したいときには，これはけっこう便利な手続きは有効じゃなかろうか．
変異の原因にランダムなものが含まれる実験であればどんなものでも， Table10.14 を見ればわかるとおり，ある成分の大きさをマイナスだと評価してしまうことがある．マイナスになりそうになったらゼロにしろという人もいるけれど，これは信用できないやり方だ．マイナスになるのは，本来正の値をとる数であってゼロではないからだ．
もちろんこの負の値になってはならないパラメーターをそう推定してしまう問題を取り除くひとつのやり方もある．最尤推定量(ML; maximal likelihoood) や制限された最大推定量(REML; restricted maximal likelihood) を用いる推定法である．「つりあいのとれたデーター」のもとでは REML は分散分析の統計量と一致する．それどころか分散分析で得られるほうが最尤推定量より不偏である場合もある． REML のほうがML よりよい．だいたい最尤推定量はモデルによっては収束しないじゃあないか．
じっさいのところ，データー数が「つりあっている」場合には，このREMLの推定量は分散分析のそれと同じなんだ．だからREML を使っても別にいいことはなにもありませんからねっ．
じゃあデーター数が「つりあっていない」場合なんだけど，分散が負になったら困るから，そのときはREML を使え．

Problems with estimates of effects 効果の推定にまつわる諸問題

しかしながらこういったデーターをいじっていると，

Summation and interactions 和分と交互作用

すでに7.20 節で説明したように，
深刻なジレンマが
交互作用はこの問題の原因となるだろう
シミュレイトつまりモデルによって

Comparisons among experiments or areas 実験間や地域間の比較

強度を推定するときの別の問題のひとつは
しかしながら，これは凄まじい汚染と対決しなければならないのである．
実験間や地域間で違いを推定しようという場合には
だから，異なる生息地や系で働いている過程を比較したいときには，

Conclusions on magnitudes of effects 効果の強度に関する結論

ここまで示してきたのは
一番いいのは

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Experiments in ecology 輪読会メモ

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$\displaystyle \omega_{A}^{2} = \frac{\hat{\theta}_{A}^{2}} { \hat{\theta}_{A}^{2} + \hat{\theta}_{B}^{2} + \hat{\theta}_{AB}^{2} + \sigma_{e}^{2} }$			(29)
$\displaystyle \omega_{B}^{2} = \frac{\hat{\theta}_{B}^{2}} { \hat{\theta}_{A}^{2} + \hat{\theta}_{B}^{2} + \hat{\theta}_{AB}^{2} + \sigma_{e}^{2} }$
$\displaystyle \omega_{AB}^{2} = \frac{\hat{\theta}_{AB}^{2}} { \hat{\theta}_{A}^{2} + \hat{\theta}_{B}^{2} + \hat{\theta}_{AB}^{2} + \sigma_{e}^{2} }$

$\displaystyle L = \frac{1}{n} \Bigl( \frac{F_{obs}}{F_{1 - \alpha / 2}} - 1 \Bigr)$			(33)
$\displaystyle U = \frac{1}{n} \Bigl( \frac{F_{obs}}{F_{\alpha / 2}} - 1 \Bigr)$